Esattamente a 50 anni e 50 giorni mi sono imbattuto nel teorema del quadrangolo magico detto pure quadrangolo dei magici rovesci o dai magici rovesci (tanto è tutto un delirio).
E’ accaduto tutto per caso, come già in occasione del visionario estivo teorema del cateto fisso di un triangolo rettangolo di Pitagorica conoscenza, e dell’altrettanto estemporaneo teorema della regola degli opposti numerici (che peraltro ricoprirà un ruolo non secon-dario in questa febbrile dissertazione).
PARTE I
Giovedì 17 novembre, 50 anni e 49 giorni dopo la mia nascita, ero in macchina guidando verso la fatica e, come spesso mi accade, stavo ragionando su un calcolo economico. Ora: quando devo moltiplicare due numeri, ciascuno di norma a doppia cifra (se non più), utilizzo una formuletta assai banale: raddoppio l’uno e dimezzo l’altro (solitamente il numero pari, soprattutto se multiplo di 4) fino a ridurre una delle due cifre al suo divisore base, tal da rendere il prodotto di elementare semplicità. Esempio: devo moltiplicare 27 per 32. Lo trasformo mentalmente in 54 per 16. E quindi in 108 per 8, a seguire 216 per 4 (che già basterebbe per giungere alla meta), infine 432 per 2. Fatto. Chi non sa moltiplicare (o dividere) un numero per 2? è l’operazione più semplice che esista. Qui si procede su un piano parallelo, una cifra raddoppia e l’altra dimezza, fino ai termini minimi in cui il cui calcolo si riduce all’essenzialità.
Mentre pertanto mi trovavo alle prese con un grossolano 84 x 24, e ci giravo attorno con una certa boria, tratto in inganno da tutte quelle cifre in 2, 4 ed 8 – così apparentemente innocue e così apparentemente riducibili a basi elementari (42 x 48 e quindi 21 per 96 e… ma no! che roba è? aspetta un attimo, ripartiamo da capo, tra una marcia e una curva), e girando e circumnavigando e tornando appunto all’indietro – rimanevo folgorato dalle cifre precedenti: 42 per 48. Come sarebbe a dire che 84 x 24 è uguale a 48 x 42?! Cioè: è ovvio che il prodotto sia uguale, sto applicando la mia formuletta, che dimezzo l’uno e raddoppio l’altro, ma… il concetto assurdo è che, facendo così, ottengo uno stesso prodotto da due numeri rovesciati nelle cifre!!!
Tradotto: 84 moltiplicato 24 è uguale a 48 (rovescio di 84 e doppio di 42) moltiplicato per 42 (rovescio di 24 e metà di 84). Se invece di raddoppiare e dimezzare, inverto l’uno e l’altro, ottengo lo stesso risultato.
Insomma… Ho segnato nella mente queste due cifre in attesa di sedermi a tavolino, perché la mia guida si era fatta alquanto nervosa. Una volta su terra ferma, provando a ragionarci su, provando a capire se fosse un caso, o il frutto di una logica matematica e casomai quale, applicando il metodo scientifico, mi sono messo alla ricerca di altre coppie simili ed ecco infine che dal cappello del cerebro sfatto di un mezzosecolista ex matematico per passione veniva fuori un’altra combinazione: 82 per 14, il cui prodotto è esattamente uguale al prodotto degli stessi due numeri rovesciati: 28 x 41. Ripeto: non sorprende che entrambe le moltiplicazioni diano 1.148 come risultato, visto che sto dimezzando 82 e raddoppiando 14. Ma io però in questo caso non le stavo raddoppiando e dimezzando, eh no: le stavo rovesciando! E, se rovescio le cifre, automaticamente, incrociatamente, ne dimezzo una e ne raddoppio l’altra!!!
Una misteriosa logica (?) matematica che si applica solamente in taluni casi: se infatti torniamo all’esempio iniziale, di 27 x 32, e rovesciamo le due cifre in 72 x 23, non otteniamo né cifre doppie e dimezzate, né prodotto uguale dalle due moltiplicazioni.
E così, nella notte seguente insonne in cui esattamente si compiva il percorso dei 50 anni e 50 giorni, tra le nebbie febbrili del delirio, ed il rimbalzo delle cifre di sopra, ho avuto un trasalimento metodico che mi ha permesso di forzare la serratura iniziale di questo mistero matematico.
E, parlando di coppie di numeri a due cifre (per iniziare, ma il risultato finale risulterà valido per numeri di QUALSIASI cifra), dopo aver scovato l’elenco esatto di tutte le coppie di numeri a due cifre il cui prodotto non cambia se rovesciamo le cifre di ciascuno di essi, sono giunto – intanto – alla formulazione del teorema del quadrangolo magico detto pure quadrangolo dei magici rovesci.
Che è la seguente: dicesi quadrangolo magico detto pure dei magici rovesci o dai magici rovesci, quel quadrangolo i cui due lati sono costituiti da numeri interi per cui, rovesciando ciascuna delle due cifre, si ottengono due numeri che costituiscono un minimo ed un multiplo incrociati dei due numeri di partenza tali che il loro prodotto (detto anche area del quadrangolo) è uguale al prodotto dei due numeri di partenza. Ovvero: i due quadrangoli hanno la stessa area.
Per semplificare:
1) 24 x 21 = 42 x 12 = 504
2) 26 x 31 = 62 x 13 = 806
3) 28 x 41 = 82 x 14 = 1.148
4) 42 x 12 = 24 x 21 (già visto in 1))
5) 46 x 32 = 64 x 23 = 1.472
6) 48 x 42 = 84 x 24 = 2.016
7) 62 x 13 = 26 x 31 (già visto in 2))
8) 64 x 23 = 46 x 32 (già visto in 5))
9) 68 x 43 = 86 x 34 = 2.924
10) 82 x 14 = 28 x 41 (già visto in 3))
11) 84 x 24 = 48 x 42 (già visto in 6) e genesi automobilistica automotivante di tutto il delirio)
12) 86 x 34 = 68 x 43 (già visto in 9))
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Il trasalimento metodico di cui parlavo, che mi ha permesso di trovare quelle coppie di numeri interi a due cifre per i quali valeva il teorema del quadrangolo magico, mi pareva assai banale. In seguito, estendendo i calcoli ai numeri a tre cifre, e quindi a quattro, ed ad anche a 10.000 cifre (volendo) ho verificato però che questo metodo reggeva il gioco al teorema del quadrangolo magico, tal da potermi permettere di dire se un qualunque numero (ed il suo opposto) potesse rientrare nel teorema e, se sì, anche con quale altro numero (e suo opposto) a far da coppia.
Il metodo è questo: per trovare una coppia magica, si deve partire da un numero pari che abbia al suo interno solamente cifre pari, indipendentemente dalla cifre che lo compongono (26, 248, 4684, 8844624, et cetera = sì; 36, 274, 4654, 8844326, et cetera = no). Questo numero viene diviso per due. La metà ottenuta viene rovesciata. Il numero ottenuto farà coppia con il numero di partenza e con esso costituirà i due lati del quadrangolo magico. Un ulteriore assioma stabilisce anche che, se l’inverso della metà del numero di partenza è ancora divisibile per due (e composto dalle sole cifre pari 2 e/o 4), possiamo ottenere un altro numero che – insieme al suo doppio – potrà far coppia con il numero di partenza.
Esempio:
Prendo un numero pari con sole cifre pari: 84
La sua metà è 42.
Il suo rovescio è 24
Coppia magica sarà 84 e 24 (caso 11))
Infatti 84 x 24 è uguale al prodotto dei loro rovesci 48 x 42 = 2.016
Ma, dato l’assioma di cui sopra, poiché il rovescio della metà di 84 (cioè 24) è ancora divisibile per due ed è composto solamente da numeri pari 2 e 4, anche questa metà (cioè 12) farà coppia magica con 84!
Infatti 84 x 12 = 48 x 21 = 1.008
Non si sfugge: quali che siano le cifre di un numero, se questo è pari ed è composto da numeri pari, la regola varrà SEMPRE.
Esempio a 4 cifre:
Numero di partenza = 8.624
Metà = 4.312
Rovescio = 2.134
Coppia magica: 8.624 e 2.134
Infatti 8.624 x 2.134 = 4.268 x 4.312 = 18.403.616
E, se anche la metà del rovescio della metà del numero di partenza è un numero pari, avremo due coppie di numeri magici
Esempio a 3 cifre:
Numero di partenza = 488
Metà = 244
Rovescio = 442 (composto solamente da cifre di 2 e 4 )
Prima coppia magica = 488 e 442
488 x 442 = 884 x 244 = 215.696
Metà del rovescio = 221
Altra coppia magica = 488 e 221
488 x 221 = 884 x 122 = 107.848
PARTE II
Dopo aver fatto tutto questo cammino, tra il larvale principio del giovedì, il venerdì notturno rivelatorio, il sabato e la domenica di prove, calcoli e scritture, mi sono sostanzialmente convinto che la ragione (matematica) per cui la regola dell’opposto (o rovescio) funziona, è che si basa sulla regola degli opposti numerici in base 9. Infatti, la differenza di ogni numero per il suo opposto è sempre divisibile per 9, che a sua volta è un quadrato perfetto (3 x 3). Se si prende qualunque numero di partenza ed ad esso si sottrae il suo opposto, il numero ottenuto – in valore assoluto – sarà sempre divisibile per 9.
Esempio:
42 – 24 = 18 (multiplo di 9)
246 – 642 = 396 (multiplo di 9)
86884226 – 62248868 = 24635358 (multiplo di 9)
Vale per tutti numeri. Tutti.
Anche perché, come controprova, c’è che per ogni coppia numerica diversa da quella che forma il quadrangolo magico (cioè sostanzialmente se si prendono due numeri a caso di qualunque cifra) la differenza del prodotto tra i due numeri ed i loro opposti sarà sempre comunque assurdamente anche qui divisibile per 9. Provare per credere.
Prendo due numeri a caso: 27 e 73.
27 x 73 = 1971
72 x 37 (prodotto degli opposti) = 2664
2664 – 1971 = 693 (multiplo di 9)
Or:
25983 x 47731 = 1240194573
38952 x 13774 (prodotto degli opposti) = 536524848
1240194573 – 536524848 = 703669725 (multiplo di 9)
In pratica, l’assioma è questo: poiché la differenza tra un qualunque qualsiasi numero a caso ed il proprio opposto è SEMPRE un multiplo di 9, se si prendono due numeri a caso (a, b) e si considerano i loro opposti, la differenza tra il prodotto incrociato dei 4 numeri (a per l’opposto di b meno b per l’opposto di a) sarà sempre uguale, in valore assoluto, ad un multiplo di 9 oppure pari a zero (caso della coppia magica).
Lo so, il fatto che tutto questo si regga sul 9 e la sua misteriosa magia nel produrre tali risultati è una convinzione non supportata da una qualche dimostrazione, non saprei neanche cosa e come impostarla. Ma è un salto della fede come fece Indiana Jones e del resto non si chiedon prove alle fedi religiose e le si pretendono da quelle matematiche? Siamo seri.
A questo punto però, non potendomi accontentare di aver scoperto un metodo ed una regola precipuamente valida solamente per numeri pari di stesse cifre, sono passato alla gravosa questione dei numeri dispari. E, mentre mi autoconvincevo (nel frattempo siamo tra lunedì mattina e pomeriggio) che questa storia funzionasse (potesse funzionare) solamente con i numeri pari, magari non necessariamente di uguali cifre, mi è venuto in sogno – letteralmente, durante 20 minuti di riposo pomeridiano – una coppia di numeri che, non solo erano sparigliati nell’essere l’uno pari e l’altro dispari, ma pure nelle cifre che li costituivano, l’uno di 2 e l’altro di 3 cifre.
La visione mistica è stata cioè questa: 12 e 231.
Ripeto: in sogno, LETTERALMENTE.
12 x 231 = 21 x 132 = 2.772.
Ero al delirio.
Che connessione c’era tra questi numeri?
Il mistero risiedeva tutto lì. Era chiaramente un messaggio arcano formulato dal dio della matematica. Allora ho avuto finalmente un’illuminazione, e di qui la scoperta decisiva: che, considerando la coppia magica, il rapporto tra ciascun numero ed il suo opposto – nel caso specifico 21/12 e 231/132 era uguale, e precisamente 1,75. Vale, ovviamente, anche l’opposto: 12/21 = 132/231 = 0,571428 eccetera.
Così, con banale evidenza, ho realizzato che il teorema del quadrangolo magico varrà per tutte quelle coppie di numeri i quali, divisi per il loro opposto, daranno/avranno lo stesso risultato!!!!
Di qui in poi si è tracimato: avendo scoperto la legge fondamentale che regola il teorema, sono sbucate altre coppie magiche – non solo pari.
Per limitarci ai primi 100 numeri:
13 x 93 = 31 x 39 = 1.209
26 x 93 = 62 x 39 = 2.418
12 x 63 = 21 x 36 = 756
24 x 63 = 42 x 36 = 1.512
48 x 63 = 84 x 36 = 3.024
23 x 96 = 32 x 69 = 2.208
46 x 96 = 64 x 69 = 4.416
Fine dei giochi: il teorema era tratto. Con una tabella di calcolo ho così cercato tutte le coppie magiche tra i primi mille numeri, escludendo necessariamente:
1) i primi 9 numeri che non creano opposti
2) i numeri con cifre uguali (11,22,33 ecc. 111,222, 333, ecc.) che non creano opposti diversi
3) i numeri che finiscono con zero e che creano opposti bi-triunivoci (1 è sia opposto di 10 che di 100? 21 è opposto sia di 12 che di 120?)
Ed ho trovato centinaia di quadrangoli magici composti dunque da centinaia di coppie numeriche magiche o dai magici rovesci.
Post scriptum. Certo tu mi dirai: trattasi sempre di coppie numeriche composte di multipli e divisibili perfetti (esempio a caso 12 x 63 = 21 x 36, laddove 63 è multiplo di 21 e 36 è multiplo di 12, entrambi in base 3), ma io ti risponderò, a maggior ragione, della misteriosa magia di tuttò ciò: quale legge matematica fa sì che due numeri si incontrano per la via, fanno una giravolta su se stessi, si trasformano in multipli e divisori l’uno dell’altro in misura così perfetta che le 4 cifre prodotte vadano a comporre due quadrangoli con la stessa area?
CONCLUSIONE
In buona sostanza, se si costruisce una tabella con qualsiasi numero composto da qualunque cifra, e si considera il suo opposto, e si procede a fare il rapporto tra di essi, quando questo valore di rapporto sarà esattamente uguale a quello tra un qualsiasi altro numero preso a caso ed il suo opposto, avremo trovato la coppia magica numerica!
Esempio: tra i primi 1000 numeri, il valore di rapporto che ricorre più volte (7) tra un numero ed il suo opposto è = 0,571428571428571
Lo ritroviamo in questi 7 casi:
12, 24, 36, 48, 132, 264, 396.
Cosa significa? che se ciascuno di questi numeri si accoppia con uno qualsiasi degli altri 6, costituirà sicuramente una coppia magica.
Prendiamo la coppia costituita da 36 e 132
36 x 231 = 132 x 63 = 8.316
Oppure la coppia costituita da 12 e 264
12 x 462 = 21 x 264 = 5.544
E via così.
Certo, un elaboratore più efficace ed efficiente della mia vecchia testa mezzosecolista sarebbe in grado di elaborare per tutti i numeri esistenti una classificazione semplice semplice raggruppando tutti i rapporti uguali tra un numero ed il suo opposto in gruppi di numeri magici e dire quanti ne esistono. Ma io, su mille, me la sono cavata bene. E comunque ho scoperto (o inventato) un teorema di cui non avevo mai sentito parlare.
Infine, grazie al supporto informatico di un vecchio compagno di strada a cavallo, mi è stato donato un foglio excel in cui sono stati rigorosamente elencati i primi 100.000 numeri, con a fianco i loro rispettivi opposti, ed a fianco il valore del loro rapporto. Se per ognuno di questi valori di rapporto tra un numero qualsiasi ed il suo opposto (quale che sia questa cifra) faccio un “cerca” e ne trovo un altro (o altri) su 100.000 numeri, avrò trovato una coppia magica in grado di dar vita ad un quadrangolo altrettanto magico.
Come unico esempio: il rapporto tra 12 ed il suo opposto 21, è uguale a = 0,571428
Se nel file cerco questa cifra (0,571428), il programma mi rimanda, per i primi 100.000 numeri, ad altri 40 (ad esempio 132, 1572, 2304, e mi fermo qui) il cui rapporto col proprio opposto è pari a 0,571428. Pertanto, ognuno di questi numeri, accoppiandosi con uno qualsiasi degli altri 39, potrà dar vita ad una coppia in grado di generare un quadrangolo magico!
Infatti:
12 x 231 = 21 x 132 = 2.772
1572 x 4032 = 2751 x 2304 = 6.338.304
eccetera.
Fine del teorema.
(io non so cosa significhi tutto ciò, però finalmente ho compreso, nel mio mezzosecolo preciso, la verità dell’espressione dare i numeri in luogo del dar di matto. Anche perché, non bastasse sta roba, come che mi ero ripreso da tutto sto delirio è saltata fuori, sempre mentre guidavo, ed in mezzo ad un altro paio di brevi considerazioni a margine qui all’interno linkate, la voglia di scrivere un trattato sulla ciclicità dei giorni, che è successivo al presente teorema ma lo precede come tempistica sul blog, forse per una questione di inversione che ha un senso inconscio tutto suo o tutto mio ma di codeste cose è inutile verbare).
