Deliri e Demoni d'altri Disincanti

Esattamente a 50 anni e 50 giorni mi sono imbattuto nel teorema del quadrangolo magico detto pure quadrangolo dei magici rovesci o dai magici rovesci (tanto è tutto un delirio).
E’ accaduto tutto per caso, come già in occasione del visionario estivo teorema del cateto fisso di un triangolo rettangolo di Pitagorica conoscenza, e dell’altrettanto estemporaneo teorema della regola degli opposti numerici (che peraltro ricoprirà un ruolo non secon-dario in questa febbrile dissertazione).

PARTE I

Giovedì 17 novembre, 50 anni e 49 giorni dopo la mia nascita, ero in macchina guidando verso la fatica e, come spesso mi accade, stavo ragionando su un calcolo economico. Ora: quando devo moltiplicare due numeri, ciascuno di norma a doppia cifra (se non più), utilizzo una formuletta assai banale: raddoppio l’uno e dimezzo l’altro (solitamente il numero pari, soprattutto se multiplo di 4) fino a ridurre una delle due cifre al suo divisore base, tal da rendere il prodotto di elementare semplicità. Esempio: devo moltiplicare 27 per 32. Lo trasformo mentalmente in 54 per 16. E quindi in 108 per 8, a seguire 216 per 4 (che già basterebbe per giungere alla meta), infine 432 per 2. Fatto. Chi non sa moltiplicare (o dividere) un numero per 2? è l’operazione più semplice che esista. Qui si procede su un piano parallelo, una cifra raddoppia e l’altra dimezza, fino ai termini minimi in cui il cui calcolo si riduce all’essenzialità.
Mentre pertanto mi trovavo alle prese con un grossolano 84 x 24, e ci giravo attorno con una certa boria, tratto in inganno da tutte quelle cifre in 2, 4 ed 8 – così apparentemente innocue e così apparentemente riducibili a basi elementari (42 x 48 e quindi 21 per 96 e… ma no! che roba è? aspetta un attimo, ripartiamo da capo, tra una marcia e una curva), e girando e circumnavigando e tornando appunto all’indietro – rimanevo folgorato dalle cifre precedenti: 42 per 48. Come sarebbe a dire che 84 x 24 è uguale a 48 x 42?! Cioè: è ovvio che il prodotto sia uguale, sto applicando la mia formuletta, che dimezzo l’uno e raddoppio l’altro, ma… il concetto assurdo è che, facendo così, ottengo uno stesso prodotto da due numeri rovesciati nelle cifre!!!
Tradotto: 84 moltiplicato 24 è uguale a 48 (rovescio di 84 e doppio di 42) moltiplicato per 42 (rovescio di 24 e metà di 84). Se invece di raddoppiare e dimezzare, inverto l’uno e l’altro, ottengo lo stesso risultato.
Insomma… Ho segnato nella mente queste due cifre in attesa di sedermi a tavolino, perché la mia guida si era fatta alquanto nervosa. Una volta su terra ferma, provando a ragionarci su, provando a capire se fosse un caso, o il frutto di una logica matematica e casomai quale, applicando il metodo scientifico, mi sono messo alla ricerca di altre coppie simili ed ecco infine che dal cappello del cerebro sfatto di un mezzosecolista ex matematico per passione veniva fuori un’altra combinazione: 82 per 14, il cui prodotto è esattamente uguale al prodotto degli stessi due numeri rovesciati: 28 x 41. Ripeto: non sorprende che entrambe le moltiplicazioni diano 1.148 come risultato, visto che sto dimezzando 82 e raddoppiando 14. Ma io però in questo caso non le stavo raddoppiando e dimezzando, eh no: le stavo rovesciando! E, se rovescio le cifre, automaticamente, incrociatamente, ne dimezzo una e ne raddoppio l’altra!!!
Una misteriosa logica (?) matematica che si applica solamente in taluni casi: se infatti torniamo all’esempio iniziale, di 27 x 32, e rovesciamo le due cifre in 72 x 23, non otteniamo né cifre doppie e dimezzate, né prodotto uguale dalle due moltiplicazioni.
E così, nella notte seguente insonne in cui esattamente si compiva il percorso dei 50 anni e 50 giorni, tra le nebbie febbrili del delirio, ed il rimbalzo delle cifre di sopra, ho avuto un trasalimento metodico che mi ha permesso di forzare la serratura iniziale di questo mistero matematico.
E, parlando di coppie di numeri a due cifre (per iniziare, ma il risultato finale risulterà valido per numeri di QUALSIASI cifra), dopo aver scovato l’elenco esatto di tutte le coppie di numeri a due cifre il cui prodotto non cambia se rovesciamo le cifre di ciascuno di essi, sono giunto – intanto – alla formulazione del teorema del quadrangolo magico detto pure quadrangolo dei magici rovesci.
Che è la seguente: dicesi quadrangolo magico detto pure dei magici rovesci o dai magici rovesci, quel quadrangolo i cui due lati sono costituiti da numeri interi per cui, rovesciando ciascuna delle due cifre, si ottengono due numeri che costituiscono un minimo ed un multiplo incrociati dei due numeri di partenza tali che il loro prodotto (detto anche area del quadrangolo) è uguale al prodotto dei due numeri di partenza. Ovvero: i due quadrangoli hanno la stessa area.

Per semplificare:
1) 24 x 21 = 42 x 12 = 504
2) 26 x 31 = 62 x 13 = 806
3) 28 x 41 = 82 x 14 = 1.148
4) 42 x 12 = 24 x 21 (già visto in 1))
5) 46 x 32 = 64 x 23 = 1.472
6) 48 x 42 = 84 x 24 = 2.016
7) 62 x 13 = 26 x 31 (già visto in 2))
8) 64 x 23 = 46 x 32 (già visto in 5))
9) 68 x 43 = 86 x 34 = 2.924
10) 82 x 14 = 28 x 41 (già visto in 3))
11) 84 x 24 = 48 x 42 (già visto in 6) e genesi automobilistica automotivante di tutto il delirio)
12) 86 x 34 = 68 x 43 (già visto in 9))
————————————————————————————————————————
Il trasalimento metodico di cui parlavo, che mi ha permesso di trovare quelle coppie di numeri interi a due cifre per i quali valeva il teorema del quadrangolo magico, mi pareva assai banale. In seguito, estendendo i calcoli ai numeri a tre cifre, e quindi a quattro, ed ad anche a 10.000 cifre (volendo) ho verificato però che questo metodo reggeva il gioco al teorema del quadrangolo magico, tal da potermi permettere di dire se un qualunque numero (ed il suo opposto) potesse rientrare nel teorema e, se sì, anche con quale altro numero (e suo opposto) a far da coppia.
Il metodo è questo: per trovare una coppia magica, si deve partire da un numero pari che abbia al suo interno solamente cifre pari, indipendentemente dalla cifre che lo compongono (26, 248, 4684, 8844624, et cetera = sì; 36, 274, 4654, 8844326, et cetera = no). Questo numero viene diviso per due. La metà ottenuta viene rovesciata. Il numero ottenuto farà coppia con il numero di partenza e con esso costituirà i due lati del quadrangolo magico. Un ulteriore assioma stabilisce anche che, se l’inverso della metà del numero di partenza è ancora divisibile per due (e composto dalle sole cifre pari 2 e/o 4), possiamo ottenere un altro numero che – insieme al suo doppio – potrà far coppia con il numero di partenza.
Esempio:
Prendo un numero pari con sole cifre pari: 84
La sua metà è 42.
Il suo rovescio è 24
Coppia magica sarà 84 e 24 (caso 11))
Infatti 84 x 24 è uguale al prodotto dei loro rovesci 48 x 42 = 2.016
Ma, dato l’assioma di cui sopra, poiché il rovescio della metà di 84 (cioè 24) è ancora divisibile per due ed è composto solamente da numeri pari 2 e 4, anche questa metà (cioè 12) farà coppia magica con 84!
Infatti 84 x 12 = 48 x 21 = 1.008

Non si sfugge: quali che siano le cifre di un numero, se questo è pari ed è composto da numeri pari, la regola varrà SEMPRE.
Esempio a 4 cifre:
Numero di partenza = 8.624
Metà = 4.312
Rovescio = 2.134
Coppia magica: 8.624 e 2.134
Infatti 8.624 x 2.134 = 4.268 x 4.312 = 18.403.616

E, se anche la metà del rovescio della metà del numero di partenza è un numero pari, avremo due coppie di numeri magici
Esempio a 3 cifre:
Numero di partenza = 488
Metà = 244
Rovescio = 442 (composto solamente da cifre di 2 e 4 )
Prima coppia magica = 488 e 442
488 x 442 = 884 x 244 = 215.696
Metà del rovescio = 221
Altra coppia magica = 488 e 221
488 x 221 = 884 x 122 = 107.848

PARTE II

Dopo aver fatto tutto questo cammino, tra il larvale principio del giovedì, il venerdì notturno rivelatorio, il sabato e la domenica di prove, calcoli e scritture, mi sono sostanzialmente convinto che la ragione (matematica) per cui la regola dell’opposto (o rovescio) funziona, è che si basa sulla regola degli opposti numerici in base 9. Infatti, la differenza di ogni numero per il suo opposto è sempre divisibile per 9, che a sua volta è un quadrato perfetto (3 x 3). Se si prende qualunque numero di partenza ed ad esso si sottrae il suo opposto, il numero ottenuto – in valore assoluto – sarà sempre divisibile per 9.
Esempio:
42 – 24 = 18 (multiplo di 9)
246 – 642 = 396 (multiplo di 9)
86884226 – 62248868 = 24635358 (multiplo di 9)
Vale per tutti numeri. Tutti.
Anche perché, come controprova, c’è che per ogni coppia numerica diversa da quella che forma il quadrangolo magico (cioè sostanzialmente se si prendono due numeri a caso di qualunque cifra) la differenza del prodotto tra i due numeri ed i loro opposti sarà sempre comunque assurdamente anche qui divisibile per 9. Provare per credere.
Prendo due numeri a caso: 27 e 73.
27 x 73 = 1971
72 x 37 (prodotto degli opposti) = 2664
2664 – 1971 = 693 (multiplo di 9)
Or:
25983 x 47731 = 1240194573
38952 x 13774 (prodotto degli opposti) = 536524848
1240194573 – 536524848 = 703669725 (multiplo di 9)

In pratica, l’assioma è questo: poiché la differenza tra un qualunque qualsiasi numero a caso ed il proprio opposto è SEMPRE un multiplo di 9, se si prendono due numeri a caso (a, b) e si considerano i loro opposti, la differenza tra il prodotto incrociato dei 4 numeri (a per l’opposto di b meno b per l’opposto di a) sarà sempre uguale, in valore assoluto, ad un multiplo di 9 oppure pari a zero (caso della coppia magica).

Lo so, il fatto che tutto questo si regga sul 9 e la sua misteriosa magia nel produrre tali risultati è una convinzione non supportata da una qualche dimostrazione, non saprei neanche cosa e come impostarla. Ma è un salto della fede come fece Indiana Jones e del resto non si chiedon prove alle fedi religiose e le si pretendono da quelle matematiche? Siamo seri.

A questo punto però, non potendomi accontentare di aver scoperto un metodo ed una regola precipuamente valida solamente per numeri pari di stesse cifre, sono passato alla gravosa questione dei numeri dispari. E, mentre mi autoconvincevo (nel frattempo siamo tra lunedì mattina e pomeriggio) che questa storia funzionasse (potesse funzionare) solamente con i numeri pari, magari non necessariamente di uguali cifre, mi è venuto in sogno – letteralmente, durante 20 minuti di riposo pomeridiano – una coppia di numeri che, non solo erano sparigliati nell’essere l’uno pari e l’altro dispari, ma pure nelle cifre che li costituivano, l’uno di 2 e l’altro di 3 cifre.
La visione mistica è stata cioè questa: 12 e 231.
Ripeto: in sogno, LETTERALMENTE.
12 x 231 = 21 x 132 = 2.772.
Ero al delirio.
Che connessione c’era tra questi numeri?
Il mistero risiedeva tutto lì. Era chiaramente un messaggio arcano formulato dal dio della matematica. Allora ho avuto finalmente un’illuminazione, e di qui la scoperta decisiva: che, considerando la coppia magica, il rapporto tra ciascun numero ed il suo opposto – nel caso specifico 21/12 e 231/132 era uguale, e precisamente 1,75. Vale, ovviamente, anche l’opposto: 12/21 = 132/231 = 0,571428 eccetera.
Così, con banale evidenza, ho realizzato che il teorema del quadrangolo magico varrà per tutte quelle coppie di numeri i quali, divisi per il loro opposto, daranno/avranno lo stesso risultato!!!!
Di qui in poi si è tracimato: avendo scoperto la legge fondamentale che regola il teorema, sono sbucate altre coppie magiche – non solo pari.
Per limitarci ai primi 100 numeri:
13 x 93 = 31 x 39 = 1.209
26 x 93 = 62 x 39 = 2.418
12 x 63 = 21 x 36 = 756
24 x 63 = 42 x 36 = 1.512
48 x 63 = 84 x 36 = 3.024
23 x 96 = 32 x 69 = 2.208
46 x 96 = 64 x 69 = 4.416
Fine dei giochi: il teorema era tratto. Con una tabella di calcolo ho così cercato tutte le coppie magiche tra i primi mille numeri, escludendo necessariamente:
1) i primi 9 numeri che non creano opposti
2) i numeri con cifre uguali (11,22,33 ecc. 111,222, 333, ecc.) che non creano opposti diversi
3) i numeri che finiscono con zero e che creano opposti bi-triunivoci (1 è sia opposto di 10 che di 100? 21 è opposto sia di 12 che di 120?)
Ed ho trovato centinaia di quadrangoli magici composti dunque da centinaia di coppie numeriche magiche o dai magici rovesci.

Post scriptum. Certo tu mi dirai: trattasi sempre di coppie numeriche composte di multipli e divisibili perfetti (esempio a caso 12 x 63 = 21 x 36, laddove 63 è multiplo di 21 e 36 è multiplo di 12, entrambi in base 3), ma io ti risponderò, a maggior ragione, della misteriosa magia di tuttò ciò: quale legge matematica fa sì che due numeri si incontrano per la via, fanno una giravolta su se stessi, si trasformano in multipli e divisori l’uno dell’altro in misura così perfetta che le 4 cifre prodotte vadano a comporre due quadrangoli con la stessa area?

CONCLUSIONE

In buona sostanza, se si costruisce una tabella con qualsiasi numero composto da qualunque cifra, e si considera il suo opposto, e si procede a fare il rapporto tra di essi, quando questo valore di rapporto sarà esattamente uguale a quello tra un qualsiasi altro numero preso a caso ed il suo opposto, avremo trovato la coppia magica numerica!
Esempio: tra i primi 1000 numeri, il valore di rapporto che ricorre più volte (7) tra un numero ed il suo opposto è = 0,571428571428571
Lo ritroviamo in questi 7 casi:
12, 24, 36, 48, 132, 264, 396.
Cosa significa? che se ciascuno di questi numeri si accoppia con uno qualsiasi degli altri 6, costituirà sicuramente una coppia magica.
Prendiamo la coppia costituita da 36 e 132
36 x 231 = 132 x 63 = 8.316
Oppure la coppia costituita da 12 e 264
12 x 462 = 21 x 264 = 5.544
E via così.
Certo, un elaboratore più efficace ed efficiente della mia vecchia testa mezzosecolista sarebbe in grado di elaborare per tutti i numeri esistenti una classificazione semplice semplice raggruppando tutti i rapporti uguali tra un numero ed il suo opposto in gruppi di numeri magici e dire quanti ne esistono. Ma io, su mille, me la sono cavata bene. E comunque ho scoperto (o inventato) un teorema di cui non avevo mai sentito parlare.
Infine, grazie al supporto informatico di un vecchio compagno di strada a cavallo, mi è stato donato un foglio excel in cui sono stati rigorosamente elencati i primi 100.000 numeri, con a fianco i loro rispettivi opposti, ed a fianco il valore del loro rapporto. Se per ognuno di questi valori di rapporto tra un numero qualsiasi ed il suo opposto (quale che sia questa cifra) faccio un “cerca” e ne trovo un altro (o altri) su 100.000 numeri, avrò trovato una coppia magica in grado di dar vita ad un quadrangolo altrettanto magico.
Come unico esempio: il rapporto tra 12 ed il suo opposto 21, è uguale a = 0,571428
Se nel file cerco questa cifra (0,571428), il programma mi rimanda, per i primi 100.000 numeri, ad altri 40 (ad esempio 132, 1572, 2304, e mi fermo qui) il cui rapporto col proprio opposto è pari a 0,571428. Pertanto, ognuno di questi numeri, accoppiandosi con uno qualsiasi degli altri 39, potrà dar vita ad una coppia in grado di generare un quadrangolo magico!
Infatti:
12 x 231 = 21 x 132 = 2.772
1572 x 4032 = 2751 x 2304 = 6.338.304
eccetera.

Fine del teorema.

(io non so cosa significhi tutto ciò, però finalmente ho compreso, nel mio mezzosecolo preciso, la verità dell’espressione dare i numeri in luogo del dar di matto. Anche perché, non bastasse sta roba, come che mi ero ripreso da tutto sto delirio è saltata fuori, sempre mentre guidavo, ed in mezzo ad un altro paio di brevi considerazioni a margine qui all’interno linkate, la voglia di scrivere un trattato sulla ciclicità dei giorni, che è successivo al presente teorema ma lo precede come tempistica sul blog, forse per una questione di inversione che ha un senso inconscio tutto suo o tutto mio ma di codeste cose è inutile verbare).

Come tutti ben sappiamo, in un anno (standard) ci sono 365 giorni, vale a dire 52 settimane (52 x 7 = 364) con l’aggiunta (o resto) di un giorno. Ciò, in virtù del fatto che la terra impiega circa 8766 ore per compiere una rotazione completa intorno al sole (moto di rivoluzione). L’approssimazione più efficace si realizza dunque con 365 giorni di 24 ore pari a 8760 ore in un anno. Le marginali 6 ore vengono recuperate ogni 4 anni aggiungendo un giorno (cioè 6 ore x 4 = 24 ore = 1 giorno) al calendario: ecco l’anno bisestile.

Ora, il fatto che in un anno (standard) ci siano 52 settimane + 1 giorno, fa sì che ogni giorno settimanale slitti di una casellina nel passaggio da un anno all’altro.
Esempio: il 29 settembre del 1972 è venerdì (ovviamente, di qui in poi, partirò sempre da questa infausta data, dato che ci feci pure l’infame tabella che deve essermi scoppiata inconsciamente dentro a genesi del delirio che in crescendo seguirà in questo post). Dicevo:
il 29 settembre del 1972 è venerdì
Nel 1973 il giorno slitterà di uno ed il 29 settembre cadrà di sabato
Nel 1974 di domenica.
Nel 1975 di lunedì
E nel 1976, essendo anno bisesto, slitterà di 2 (quindi cadrà di mercoledì e non di martedì), come per tutti i giorni di quell’anno che vengono dopo il 29 febbraio. Gli unici due mesi che in un anno bisesto continueranno a veder slittare i propri giorni settimanali di uno rispetto all’anno precedente sono dunque gennaio e febbraio, poiché il giorno in più cade appunto a fine febbraio. Talché, lo slittamento di due giorni per i mesi di gennaio e febbraio si avrà nell’anno successivo a quello bisesto
Esempio: il 01 gennaio 1973 è lunedì
Nel 1974 il 01 gennaio cadrà di martedì
Nel 1975 sarà di mercoledì
Nel 1976 continuerà a slittare di uno, perché il giorno in più (29 febbraio) deve ancora venire, e cadrà di giovedì.
Ma nel 1977 slitterà di 2 e cadrà di sabato.

Ah: a beneficio di quanti si fossero messi in visione ed all’ascolto solo in questo momento, ricordo che l’anno bisestile, forse per una sorta di giocosa simmetria con la sua cadenza quadriennale (che ci evita di complicare le cose – per modo di dire) cade sempre quando le due cifre finali che lo compongono sono pari e divisibili per 4: 1904, 1908, 1912 eccetera di 4 in 4 fino al 2000, e poi nuovamente 2004, 2008, eccetera. Le ultime due cifre sono tutte divisibili per/multipli di 4).

Bene: queste sono cose che tutti sanno. Ma quindi, quanto tempo ci mette un giorno qualsiasi di un anno qualsiasi a compiere il suo moto di rivoluzione rispetto ai 7 giorni settimanali? Se il 29 settembre del 1972 è venerdì, quanto ci metterà il 29 settembre a tornare di venerdì negli anni successivi? La risposta è altrettanto ovvia: ci metterà 6 anni se tra le due date c’è di mezzo un anno bisestile, e ce ne metterà 5 se tra le due date ci sono di mezzo due anni bisestili.
Esempio: tra il 29 settembre 1972 ed il 29 settembre 1978 c’è di mezzo una sola data bisestile (il 29 febbraio del 1976) e pertanto entrambe le date cadranno di venerdì.
Invece, tra il 29 settembre 1975 ed il 29 settembre 1980 ci sono di mezzo due date bisestili (il 29 febbraio 1976 ed il 29 febbraio 1980) e pertanto il giorno della settimana in cui cadrà (lunedì) ci metterà solo 5 anni per fare moto di rivoluzione settimanale.

Ma quanto ci mette un intero anno ad avere esattamente gli stessi giorni di un altro anno? Nell’esempio di sopra, anche se il 1972 ed il 1978 hanno parecchi giorni uguali (dal 01 marzo al 31 dicembre) così non è per i mesi di gennaio e febbraio, perché il primo è un anno bisestile, l’altro no (che tradotto, significa che gennaio e febbraio hanno giorni differenti tra i due anni). Lo stesso dicasi per i giorni del 1975 e del 1980, tanto per riprendere il secondo esempio, poiché il 1980 è altrettanto bisesto.
Però, ci sono anni che non sono bisestili, che hanno un solo bisesto tra di essi, e che dunque hanno giorni precisamente uguali dall’inizio alla fine, ad esempio il 1973 ed il 1979 (con in mezzo solamente il 29 febbraio 1976, e con dunque 6 slittamenti + 1 da bisesto = 7 cioè settimana completata).
La sola differenza tra i due anni è che il primo viene dopo un bisesto, l’altro lo precede. Magari è una minuzia, ma non per me.

In virtù di quanto detto tutto compreso, ne deriva che per avere due anni che sono esattamente uguali nei giorni, nella lunghezza, e nel posizionamento rispetto ad un bisestile (precedendolo come il 1979, o seguendolo come il 1973, o posizionandosi a mezza via come il 1978) o essendo essi stessi due bisestili, bisognerà aspettare esattamente: 7 giorni settimanali x 4 (un bisesto ogni 4 anni) = 28 anni.

Tradotto:
il 1972 ed il 2000 avranno gli stessi giorni e la stessa durata (sono entrambi bisestili)
il 1973 ed il 2001 avranno gli stessi giorni e la stessa durata (365 giorni) ed entrambi seguono un bisesto.
il 1974 ed il 2002 avranno gli stessi giorni e la stessa durata (365 giorni) ed entrambi si collocano a metà tra due bisesti
il 1975 ed il 2003 avranno gli stessi giorni e la stessa durata (365 giorni) ed entrambi precedono un bisesto.

Riassunto:

1) Giorno di anno bisesto torna dopo anni = 6 + 11 + 6 + 5 (totale 28 cioè 7 x 4 e si riavvia il ciclo)

2) Giorno di anno post bisesto torna dopo = 6 + 5 + 6 + 11 (totale 28 e si riavvia il ciclo)

3) Giorno di anno medio tra bisesti torma dopo = 11 + 6 + 5 + 6 (totale 28 e si riavvia il ciclo)

4) Giorno di anno pre bisesto torna dopo = 5 + 6 +11 + 6 (totale 28 e si riavvia il ciclo)

Esempio:
1) 29 settembre 1972 è venerdì e torna di venerdì nel 1978 (+6 anni, ma il 1972 è bisesto ed il 1978 no), poi nel 1989 (+11, ma il 1972 è un bisesto, il 1978 un medio tra bisesti, ed il 1989 segue un bisesto) poi nel 1995 (+6, ma il 1995 precede un bisesto, a differenza degli altri 3 anni in cui è caduto di venerdì – 1972, 1978, 1989) ed infine nel 2000 (+5, e si chiude il ciclo dei 28 anni, 1972 e 2000 sono entrambi bisesti)
2) 29 settembre 1973 è sabato e torna di sabato nel 1979 (+6 anni, ma il 1973 segue un bisesto ed il 1979 lo precede), poi nel 1984 (+5, ma il 1984 è un bisesto) poi nel 1990 (+6, ma il 1990 è un pari medio tra bisesti ed il 1973 un dispari che segue un bisesto) ed infine nel 2001 (+11, e si chiude il ciclo dei 28 anni, entrambi dispari post bisesti).
3) 29 settembre 1974 è domenica e torna di domenica nel 1985 (+11 anni, ma un anno è pari – medio tra bisesti – e l’altro è dispari post bisesto), poi nel 1991 (+6, ma sempre anno dispari pre bisesto), poi nel 1996 (+5, ma il 1996 è bisesto ed il 1974 no) ed infine nel 2002 (+6, e si chiude il ciclo dei 28 anni, entrambi anni pari ed a metà tra due bisesti)
4) 29 settembre 1975 è lunedì e torna di lunedì nel 1980 (+5, ma il 1980 è bisesto), poi nel 1986 (+6, ma l’uno è dispari pre bisesto e l’altro è pari – medio tra bisesti), poi nel 1997 (+11, ma l’uno precede un bisesto e l’altro lo segue), ed infine nel 2003 (+6, e si chiude il ciclo dei 28 anni, entrambi dispari che precedono un bisesto).

L’ultima considerazione da fare riguarda ovviamente i giorni relativi ai mesi di gennaio e febbraio, che scontano il doppio slittamento, dovuto all’anno bisesto, nell’anno ad esso successivo, poiché il famoso giorno in più (il 366esimo ogni 4 anni) interviene non ad inizio anno (una sorta di 0 gennaio) ma a fine febbraio (il proverbiale 29). Per quanto detto e scritto sopra, ciò si traduce in una soluzione abbastanza intuitiva, e cioè che la ciclicità dei giorni dei primi due mesi dell’anno slitta di uno rispetto ai giorni degli altri 10 mesi successivi: per gennaio e febbraio, l’influenza del bisesto si avrà nell’anno post bisesto, quella dell’anno post bisesto si avrà nell’anno intermedio tra bisesti, e così via, secondo questo schema:
1) Giorno (di gennaio e febbraio) di anno bisesto torna dopo anni = 5 + 6 +11 + 6 (totale 28 cioè 7 x 4 e si riavvia il ciclo. In pratica si comporta come fa un pre-bisesto con gli altri mesi)
2) Giorno (di gennaio e febbraio) di anno post bisesto torna dopo = 6 + 11 + 6 + 5 (totale 28 e si riavvia il ciclo. In pratica si comporta come fa un bisesto con gli altri mesi)
3) Giorno (di gennaio e febbraio) di anno medio tra bisesti dopo = 6 + 5 + 6 + 11 (totale 28 e si riavvia il ciclo. In pratica si comporta come fa un post-bisesto con gli altri mesi)
4) Giorno (di gennaio e febbraio) di anno pre bisesto torna dopo = 11 + 6 + 5 + 6 (totale 28 e si riavvia il ciclo. In pratica si comporta come fa un medio tra bisesti con gli altri mesi)

A completamento di ciò, dopo aver visto la ciclicità dei giorni tra gli anni, resta un’ultima breve considerazione da fare, in appendice: la ciclicità dei giorni tra mesi di uno stesso anno. Questa è abbastanza intuitiva, perché è semplicemente legata allo slittamento dei giorni tra i mesi in virtù del fatto che nessun mese – ad eccezione di febbraio in un anno non bisesto – dura 4 settimane. Dal che, ne deriva che due mesi di uno stesso anno avranno gli stessi giorni quando gli slittamenti che si saranno prodotti tra la durata di un mese (rispetto a 28) e l’altro (sempre rispetto al 28) saranno uguali a multipli di 7, a chiusura del ciclo settimanale.
Pertanto, in un anno non bisestile:
Gennaio ha gli stessi giorni di Ottobre: 3 giorni di slittamento (31 giorni di gennaio meno 28) tra gennaio e febbraio, zero (28 giorni di febbraio meno 4 settimane = 28) tra febbraio e marzo, 3 tra marzo ed aprile (totale 6), 2 tra aprile e maggio (totale 8), 3 tra maggio e giugno (totale 11), 2 tra giugno e luglio (totale 13), 3 tra luglio ed agosto (totale 16), 3 tra agosto e settembre (totale 19), 2 tra settembre ed ottobre (totale 21 – MULTIPLO di 7).
il 01 gennaio 1973 è lunedì, e così il 01 ottobre dello stesso anno. Il 02 gennaio 1973 è martedì e così il 02 ottobre – e via dicendo.
Con questo stesso ragionamento:
Febbraio (per tutti i suoi 28) ha gli stessi giorni di Marzo (per i primi 28 rispetto a febbraio e fino a 30 rispetto a novembre), ed entrambi hanno gli stessi giorni di Novembre
Aprile (per tutti i suoi 30) ha gli stessi giorni di Luglio
Luglio (fino al 30) ha gli stessi giorni di Aprile (già visto)
Settembre (per tutti i suoi 30) ha gli stessi giorni di Dicembre
Ottobre ha gli stessi giorni di Gennaio (già visto)
Novembre (fino a 28 uguali ad entrambi e gli ultimi due uguali al 29 e 30 marzo) ha gli stessi giorni di Febbraio e Marzo (già visto)
Dicembre (fino al 30) ha gli stessi giorni di Settembre (già visto).

Infine, in un anno bisestile, poiché il giorno in più si intromette tra le accoppiate di Gennaio e di Febbraio con gli altri mesi loro partners, alterando la sommatoria degli scarti, ma lasciando inalterata quella tra i mesi successivi (al 29 febbraio), si creano nuove coppie:
Gennaio (per i primi 30) ha gli stessi giorni di Aprile (3 giorni di slittamento tra gennaio e febbraio, + 1 tra febbraio e marzo in virtù dei 29 giorni, + 3 tra marzo ed Aprile = 7!) e chiaramente di Luglio (per gli interi 31), slegandosi da Ottobre come accadeva in un anno non bisesto.
il 01 gennaio 1972 è sabato, così come il 01 aprile ed il 01 luglio dello stesso anno – e via dicendo
Febbraio (per tutti i suoi 29) ha gli stessi giorni di Agosto (1 giorno di slittamento con Marzo, + 3 tra Marzo ed Aprile (totale 4), + 2 tra Aprile e Maggio (totale 6), + 3 tra Maggio e Giugno (totale 9), + 2 tra Giugno e Luglio (totale 11), + 3 tra Luglio ed Agosto (totale 14 – MULTIPLO di 7), slegandosi da marzo e novembre, come accadeva in un anno non bisesto.
Le altre accoppiate mensili, non scontando l’influenza del 29 febbraio, resteranno inalterate (Marzo con Novembre, Aprile con Luglio, Settembre con Dicembre)
il 29 settembre 1972 è venerdì, così come il 29 dicembre 1972
il 29 settembre 1973 è sabato, così come il 29 dicembre 1973

Fine del trattato sulla ciclicità dei giorni della settimana in un anno e tra gli anni. (…)
E invece no!
A questo punto, poiché sono matto, ho voluto scoprire la ciclicità dei giorni settimanali (tra gli anni) ipotizzando che questi non fossero 7, ma magari 9 (aggiungendo una domenica 2 ed una domenica 3) oppure 8 (senza domenica tris) oppure 6 (senza domenica) oppure 5 (da lunedì a venerdì) oppure 4 (da giovedì a domenica) oppure 3 (da venerdì a domenica) oppure due (solamente sabato e domenica)
Ciò che ho scoperto riguardo la perfetta ciclicità dei giorni, quel numero 28 prodotto dai giorni della settimana per 4 (numero sempre fisso poiché riferito ai 4 anni di attesa del bisesto), che ovviamente vale anche nel caso di una settimana di 8 giorni (8 x 4 = 32, cioè ci vorranno 32 anni affinché due anni abbiano gli stessi giorni, la stessa lunghezza e lo stesso posizionamento rispetto ad un bisesto o essi stessi bisesti), ebbene quella ciclicità si riduce in un solo e solo caso: se il prodotto tra i giorni di cui è composta una settimana ed il numero 4 è un risultato divisibile per 3!
Sto cioè dicendo che se i giorni della settimana sono 9, il riavvio del ciclo non si avrà dopo 4 x 9 = 36 anni, ma già dopo 36/3 = 12 anni.
Lo stesso se i giorni della settimana sono 6: non 24 anni (6 x 4) ma solamente 24/3 = 8 anni.
Con una stramba particolarità: che questa ciclicità sarà a giorni settimanali esclusivi! Tradotto: certi giorni della settimana torneranno solamente in certi determinati anni uguali (per durata e posizionamento rispetto al bisesto o essi stessi bisesti), ed in altri mancheranno sempre, o per meglio dire: ogni singola data, per coppie di anni uguali, potrà avere solamente determinati giorni (nel caso ad esempio di 9 giorni settimanali, il 29 settembre di un anno bisesto potrà essere solamente venerdì, domenica 2 o martedì).
Questa ciclicità a giorni esclusivi la ritroviamo anche nel caso di 6 giorni a settimana, non così negli altri casi.
Detto questo, e sperando di essere stato chiaro quanto basta per favorire l’impazzimento altrui tam quam quel che mi colse lungo circa una settimana (va da sé), elucubrato tra la guida in macchina, il lavoro in ufficio e le notti insonni, passo alle tabelle

Con 9 giorni a settimana (dopo domenica, domenica2 e domenica3)
Settimane in un anno (per forza fisso a 365 gg. per 3 tornate consecutive e poi 366 gg. a bisesto ogni 4) = 40. Giorni di slittamento standard tra un anno e l’altro = 365-360 (4×90) = 5

Parto da venerdì in bisesto (esempio fissato: 29 settembre 1972):

venerdì 1972
lunedì 1973 (+5 di slittamento: sabato, domenica, domenica2, domenica3, lunedì – appunto)
sabato 1974 (+10)
martedì 1975 (+15)
domenica2 1976 (+21 = 15+6 di slittamento da bisesto)
giovedì 1977 (+ 26)
domenica3 1978 (+31)

venerdì 1979 (+36 di slittamento: multiplo di 9 quindi ritorno, dopo 7 anni, al venerdì – ma non di anno bisesto come il 1972)

martedì 1980 (+42)
domenica 1981 (+47)
mercoledì 1982 (+52)
domenica 2 1983 (+57)
venerdì 1984 (+63 di slittamento, 57+6 ((da bisesto)) quindi multiplo di 9. E inoltre, anno bisesto come il 1972: dopo 12 anni, 5 più 7 per i bisesti e pre bisesti, e 12 esatti per tutti gli altri, ricomincia il ciclo: a giorni esclusivi!) Infatti, poi:

lunedì 1985 (12 anni dopo il 1973)
sabato 1986 (12 anni dopo il 1974)
martedì 1987 (12 anni dopo il 1975, ma con altro martedì nel 1980 – quindi dopo 5 e 7 anni in quanto entrambi anni pre bisestili)
domenica 2 1988 (12 anni dopo il 1976, con in mezzo il 1983, quindi stessa situazione del venerdì; giorni in anni bisesti tornano dopo 5 e 7 anni)
giovedì 1989 (12 anni dopo il 1977)
domenica 3 1990 (12 anni dopo il 1978)
venerdì 1991 (12 anni dopo il 1979 e chiaramente 7 dopo il 1984. Quindi tornerà tra 5! )
martedì 1992 – ibidem
domenica 1993 – ibidem
mercoledì 1994 – ibidem
domenica 2 1995 – ibidem
venerdì 1996

E, dopo 12 anni dal 1984 e 24 dal 1972, altro ciclo identico:

lunedì 1997
sabato 1998
martedì 1999
domenica 2 2000
giovedì 2001
domenica 3 2002
venerdì 2003
martedì 2004
domenica 2005
mercoledì 2006
domenica 2 2007
venerdì 2008 – chiusura del ciclo dei 12 anni e del ciclo onnicomprensivo dei 36 anni (9 giorni settimanali per 4 da cadenza bisestile

Ricapitolando, circa la ciclicità dei giorni:
Giorno in anno bisesto (solo venerdì, martedì e domenica 2) si ripete dopo 7 + 5 = 12 anni
Giorno in anno dopo anno bisesto (solo lunedì, giovedì e domenica 1) si ripete dopo 12 anni secchi
Giorno in anno medio tra bisesti (solo mercoledì, sabato e domenica 3) si ripete dopo 12 anni secchi
Giorno di anno pre anno bisesto (solo venerdì, martedì e domenica 2) si ripete dopo 5 + 7 = 12 anni

Con 6 giorni a settimana (senza domenica)
Settimane in un anno (per forza fisso a 365 gg. per 3 tornate consecutive e poi 366 gg. a bisesto ogni 4) = 60. Giorni di slittamento standard = 365-360 = 5

Parto da venerdì in bisesto (esempio fissato: 29 settembre 1972):

venerdì 1972
giovedì 1973 (+5 di slittamento)
mercoledì 1974 (+10)
martedì 1975 (+15)
martedì 1976 (+21 = 15+6 di slittamento da bisesto)

lunedì 1977 (+ 26)
sabato 1978 (+31)
venerdì 1979 (+36 di slittamento: multiplo di 6 quindi ritorno al venerdì – ma non di anno bisesto come il 1972)

venerdì 1980 (+42, 36+6 ((da bisesto)) quindi multiplo di 6. E inoltre, anno bisesto come il 1972: dopo 8 anni comincia il ciclo e ricomincia il ciclo: a giorni esclusivi!) Infatti, poi:

giovedì 1981
mercoledì 1982
martedì 1983
martedì 1984
lunedì 1985
sabato 1986
venerdì 1987
venerdì 1988 (chiusura ciclo di 8 anni)

giovedì 1989
mercoledì 1990
martedì 1991
martedì 1991
lunedì 1993
sabato 1994
venerdì 1995
venerdì 1996 (chiusura ciclo di 8 anni e del ciclo onnicomprensivo dei 24 anni (6 giorni settimanali per 4 da cadenza bisestile)

Ricapitolando, circa la ciclicità dei giorni:
Giorno in anno bisesto (solo venerdì e martedì) si ripete dopo 7 + 1 = 8 anni
Giorno in anno dopo anno bisesto (solo lunedì, mercoledì, giovedì e sabato) si ripete dopo 8 anni secchi
Giorno in anno medio tra bisesti (solo lunedì, mercoledì, giovedì e sabato) si ripete secco dopo 8 anni
Giorno pre anno bisesto (solo venerdì e martedì) si ripete dopo 1 + 7 secchi

Con 8 giorni a settimana (dopo domenica, domenica2)
Settimane in un anno (per forza fisso a 365 gg. per 3 tornate consecutive e poi 366 gg. a bisesto ogni 4) = 45. Giorni di slittamento standard = 365-360 = 5

Parto da venerdì in bisesto (esempio fissato: 29 settembre 1972):

venerdì 1972
martedì 1973 (+5 di slittamento)
domenica 1974 (+10)
giovedì 1975 (+15)
martedì 1976 (+21. Tra il 1973 ed il 1976, 16 giorni di slittamento: multiplo di 8 e ritorno di giorno uguale, in questo caso martedì)

domenica 1977 (+ 26. Tra il 1974 ed il 1977, 16 giorni di slittamento: multiplo di 8 e ritorno di giorno uguale, in questo caso domenica)

giovedì 1978 (+31. Tra il 1975 ed il 1978, 16 giorni di slittamento: multiplo di 8 e ritorno di giorno uguale, in questo caso giovedì)

lunedì 1979
domenica 1980
giovedì 1981
lunedì 1982
sabato 1983
giovedì 1984
lunedì 1985
sabato 1986
mercoledì 1987
lunedì 1988
sabato 1989
mercoledì 1990
domenica2 1991
sabato 1992
mercoledì 1993
domenica2 1994
venerdì 1995
mercoledì 1996
domenica2 1997
venerdì 1998
martedì 1999
domenica2 2000
venerdì 2001
martedì 2002
domenica 2003

venerdì 2004 (dopo 32 anni dal 1972, ricomincia il ciclo intero senza giorni esclusivi)
martedì 2005
domenica 2006
giovedì 2007 – eccetera

Ricapitolando:

Giorno in anno bisesto si ripete dopo 23 + 3 +3 + 3 = 32 anni (8 gg. settimanale x 4 – cadenza bisesto = 32 e ciclo concluso)
Giorno dopo anno bisesto si ripete dopo 3 +23 + 3 + 3 = 32
Giorno in anno medio tra bisesti si ripete dopo 3 +3 + 23 + 3 = 32
Giorno pre anno bisesto si ripete dopo 3 +3 + 3 + 23 = 32

Con 5 giorni a settimana (da lunedì a venerdì)
Settimane in un anno (per forza fisso a 365 gg. per 3 tornate consecutive e poi 366 gg. a bisesto ogni 4) = 73. Giorni di slittamento standard = 365-365 = zero! Ciò significa che ogni anno ha gli stessi giorni della settimana, è un anno a ciclo completo, e solo il bisestile altera i giochi. Vediamo come

Parto da venerdì in bisesto (esempio fissato: 29 settembre 1972):

venerdì 1972
venerdì 1973
venerdì 1975
lunedì 1976
lunedì dal 1977 al 1979
martedì da 1980 al 1983
mercoledì dal 1984 al 1987
giovedì dal 1988 al 1991
venerdì 1992
da venerdì 1992 riparte il ciclo di 20 anni (5 giorni per 4, un bisesto ogni 4 = 20)
Molto banalmente, il giorno in bisesto si ripete 3 volte di fila e poi torna dopo 17 anni
Il giorno post bisesto (che sarebbe uguale a quello bisesto) torna ancora per due anni di fila e poi dopo 18 anni (cioè 17 perché è uguale al precedente)
Inutile continuare!

Con 4 giorni a settimana (da giovedì a domenica)
Settimane in un anno (per forza fisso a 365 gg. per 3 tornate consecutive e poi 366 gg. a bisesto ogni 4) = 91. Giorni di slittamento standard = 365-364 = uno

Parto da venerdì in bisesto (esempio fissato: 29 settembre 1972):

venerdì 1972
sabato 1973
domenica 1974
giovedì 1975
sabato 1976
domenica 1977
giovedì 1978
venerdì 1979
domenica 1980
giovedì 1981
venerdì 1982
sabato 1983
giovedì 1984
venerdì 1985
sabato 1986
domenica 1987
venerdì 1988 (chiusura ciclo)
sabato 1989
domenica 1990
giovedì 1991

Giorno in anno bisesto si ripete dopo 7+3+3+3 = 16 (ciclo chiuso come da 4 x 4)
Giorno dopo anno bisesto si ripete dopo 3+7+3+3 = 16
Giorno in anno medio tra bisesti si ripete dopo 3+3+7+3 = 16
Giorno pre anno bisesto si ripete dopo 3+3+3+7 = 16

Con 3 giorni a settimana (da venerdì a domenica)
Settimane in un anno (per forza fisso a 365 gg. per 3 tornate consecutive e poi 366 gg. a bisesto ogni 4) = 131. Giorni di slittamento standard = 365-363 = due

Parto da venerdì in bisesto (esempio fissato: 29 settembre 1972):

venerdì 1972
domenica 1973
sabato 1974
venerdì 1975

venerdì 1976

Il giorno dell’anno in bisesto torna dopo 1 e 3 anni, e quelli degli altri anni tornano ogni 4 anni, il ciclo è infatti di 4 anni in virtù dei 3 (giorni settimanali) moltiplicati per 4 (bisesto) pari a 12 divisibile per 3 (come i cicli a 9 e 6 giorni) = 4

Con 2 giorni a settimana (venerdì a sabato)
Settimane in un anno (per forza fisso a 365 gg. per 3 tornate consecutive e poi 366 gg. a bisesto ogni 4) = 182. Giorni di slittamento standard = 365-364 = uno

Parto da venerdì in bisesto (esempio fissato: 29 settembre 1972):

venerdì 1972
sabato 1973
venerdì 1974
sabato 1975
sabato 1976
venerdì 1977
sabato 1978
venerdì 1979

venerdì 1980
sabato 1981
venerdì 1982
sabato 1983
sabato 1984
venerdì 1985
sabato 1986
venerdì 1987

Chiaro ciclo di 8 anni (2 giorni per 4 anni a bisestile)

Giorno di anno bisesto torna dopo = 2+3+2+1 = 8 (ciclo chiuso)
Giorno di anno post bisesto torna dopo = 2+1+2+3
Giorno medio tra bisesti torna dopo = 3+2+1+2
Giorno pre bisesto torna dopo = 1+2+3+2

Fine.

(chi ha seguito fin qui il trattato capendoci qualcosa ha vinto un T.S.O.)

A stretto giro di posta, dopo nemmanco 12 ore dalla pubblicazione degli ultimi 2 post matematici e filosoficofolli, vagando per la stazione entrando nel postaccio dei libri mi imbatto come catturato da una sorta di ipnosi lucida in un testo che la mia mano ha raccolto prima ancora che il cerebro mi si collegasse.

Dio la matematica e la follia.

Se non son segni questi.

Opposti numerici ed anno di nascita:

Nel 01 ha 10 anni: nato nel 91
Nel 02 ha 20 anni: nato nell’82 (91-9)
Nel 03 ha 30 anni: nato nel ’73 (82-9)

e poi nel ’64 (40 nel 04), nel ’55, e via dicendo: tutti meno 9

Nel 10 ha 01 anni, nato nel ’09
Nell’11 ne ha 11, nato nell’anno 0 ( 9-9)
Nel ’12 ne ha 21, nato nel ’91 (00-9)
Nel ’13 ne ha 31, nato nell’82 (91-9)

e così via.

Nel ’91 ne ha 19, nato nel ’72 (come me. così lo scopersi, ancora una volta in sogno)
Nel ’92 ne ha 29, nato nel ’63 (72-9)

E così via, a botta di meno 9: ’54, ’45, ’36, ’27:

Nel ’97 ne ha 79, nato nel ’18
Nel ’98 ne ha 89, nato nel ’09
Nel ’99 ne ha 99, nato nell’anno 0

La regola degli opposti numerici si fonda sul 9

Vado avanti con i matematici misteri precisi matematici irrefutabili matematici
Per caso, il 09/11 del 2021, un avvenimento del ’38 compie 83 anni.
38 ed il suo contrario 83.
Per caso, sommo 9 al primo e tolgo 9 al secondo. ne esce una nuova coppia di numeri opposti: 47 (38+9) e 74 (83-9)
Proseguo: 47+9 e 74-9: altra coppia di numeri opposti, 56 e 65. Va avanti così fin quando restano numeri interi maggiori di 0 a due cifre: 65 e 56, poi chiaramente 74 e 47, 83 e 38, 92 e 29.
Prendo un altro numero a caso, il mio anno di nascita, il 72. il suo opposto è 27. Di nuovo, procedo a sommare 9 al più piccolo e sottrarre 9 al più grande.
Risultato? da 27 e 72 si passa a 36 e 63, 45 e 54, 54 e 45, 63 e 36, 72 e 27, 81 e 18, 90 e 09.
Ora, fallo anche tu. Con qualsiasi numero di due cifre. Prendi un numero, prendi il suo opposto, somma 9 all’uno e sottrai 9 all’altro, ed avrai sempre e comunque coppie di numeri opposti.
Ma che regola è?

(segue…)

(segue 2… : come conciliare il numero 9 (quadrato di 3),  sua somma e sottrazione che produce gli opposti numerici, parallelamente il fatto che la differenza tra OGNI NUMERO ed il suo opposto è SEMPRE divisibile per 9 e congiuntamente il fatto che la differenza del prodotto tra due numeri A CASO ed i loro opposti sarà sempre SEMPRE divisibile per 9? ma è chiaro: con il teorema del quadrangolo magico!)

musica all’ombra a bordo dell’acqua in quella particolare predisposizione e condizione di vacanza cui la mente, illudendosi di essere libera, si libra spiccando salti verso pensieri inusitati che s’eran sempre trasformati – stesso per dire ieri – in poesie, aforistiche riflessioni puntuamente trascritte carta e penna, ma oggi un catetino è rimasto immobile e l’altro si espandeva e così il compitino è venuto anche più carino, che ci sta pure il disegnino. Come dici? Va tutto bene?